Упр.1429 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

корень (x+y-1) =1,
корень (x-y+2) =2y-2;
3) система
корень (3y+x+1)=2,
корень (2x-y+2) =7y-6.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} \sqrt{x+y-1}=1,\\ \sqrt{x-y+2}=2y-2. \end{cases} $$
Возведём уравнения в квадрат:
$$ \begin{cases} x+y-1=1,\\ x-y+2=(2y-2)^2. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x=2-y,\\ x-y+2=4y^2-8y+4. \end{cases} $$
Подставим $x=2-y$ во второе уравнение:
$$ 2-y-y+2=4y^2-8y+4 $$
$$ 4y^2-6y=0 $$
$$ 2y(2y-3)=0. $$
Отсюда $y=0$ или $y=\dfrac{3}{2}$.
Тогда
$$ x=2-y. $$
При $y=0$ получаем $x=2$, но тогда $2y-2=-2$, а левая часть второго уравнения не может быть отрицательной. Значит, этот корень не подходит.
При $y=\dfrac{3}{2}$ получаем
$$ x=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}. $$
Проверка области допустимых значений выполняется:
$$ x+y-1\ge 0,\qquad x-y+2\ge 0,\qquad 2y-2\ge 0. $$
Для найденной пары $x=\dfrac{1}{2}$, $y=\dfrac{3}{2}$ все условия выполняются.
Решим систему
$$ \begin{cases} \sqrt{3y+x+1}=2,\\ \sqrt{2x-y+2}=7y-6. \end{cases} $$
Возведём уравнения в квадрат:
$$ \begin{cases} 3y+x+1=4,\\ 2x-y+2=(7y-6)^2. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x=3-3y,\\ 2x-y+2=49y^2-84y+36. \end{cases} $$
Подставим $x=3-3y$ во второе уравнение:
$$ 2(3-3y)-y+2=49y^2-84y+36 $$
$$ 49y^2-77y+28=0. $$
Найдём корни:
$$ D=77^2-4\cdot 49\cdot 28=441, $$
$$ y=\frac{77\pm 21}{98}. $$
$$ y_1=1,\qquad y_2=\frac{4}{7}. $$
Тогда
$$ x=3-3y. $$
При $y=1$ получаем $x=0$.
При $y=\dfrac{4}{7}$ получаем $x=\dfrac{9}{7}$.
Проверим область допустимых значений:
$$ 3y+x+1\ge 0,\qquad 2x-y+2\ge 0,\qquad 7y-6\ge 0. $$
Для пары $\left(\dfrac{9}{7},\dfrac{4}{7}\right)$ условие $7y-6\ge 0$ не выполняется, значит этот корень не подходит. Остаётся пара $(0,1)$.