Упр.1419 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) а4 + 6a2b2 + b4 > 4ab (а2 + b2), если a =/ b.

1. Докажем неравенство $$ (a+b)(ab+1)\ge 4ab, \quad a>0,\ b>0. $$

   Положим $$x=ab.$$ Тогда $$a=\frac{x}{b}$$ и

   $$ \left(\frac{x}{b}+b\right)(x+1)\ge 4x. $$

   Умножим на $$b>0$$:

   $$ (x+b^2)(x+1)-4bx\ge 0. $$

   Раскроем скобки и преобразуем:

   $$ x^2+b^2x+x+b^2-4bx\ge 0, $$
   $$ x^2-2bx+b^2+x(1-2b+b^2)\ge 0, $$
   $$ (x-b)^2+x(1-b)^2\ge 0. $$

   Возвращаясь к $$x=ab$$, получаем

   $$ \frac{(ab-b)^2+ab(1-b)^2}{b}\ge 0. $$

   Так как $$b>0$$, а оба слагаемых в числителе неотрицательны, неравенство верно.

2. Докажем неравенство $$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2), \quad a\ne b.$$

   Преобразуем левую часть:

   $$ a^4+6a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2+4a^2b^2. $$

   Тогда

   $$ (a^2+b^2)^2+4a^2b^2-4ab(a^2+b^2) $$
   $$ =(a^2+b^2-2ab)^2 $$
   $$ =(a-b)^4. $$

   Так как $$a\ne b$$, то $$ (a-b)^4>0 $$, значит

   $$ a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2). $$

Ответ

1) $$ (a+b)(ab+1)\ge 4ab $$ при $$a>0,\ b>0$$;
2) $$ a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2) $$ при $$a\ne b$$.