Упр.1416 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) sin х < 1/4; 2) sin х > -1/4
3) tg х — 3 < =0; 4) cos х > 1/3.

1. $$\sin x<\frac14$$

   График функции $$y=\sin x$$ ниже прямой $$y=\frac14$$ на промежутке между точками пересечения:

   $$x=\arcsin\frac14+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x>-\frac14$$

   Точки пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=-\frac14$$:

   $$x=-\arcsin\frac14+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x-3\le 0$$

   Получаем:

   $$\tg x\le 3.$$

   На каждом промежутке монотонности функции $$y=\tg x$$ имеем

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos x>\frac13$$

   График функции $$y=\cos x$$ выше прямой $$y=\frac13$$ между точками

   $$x=-\arccos\frac13+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
2) $$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
4) $$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$