Упр.1380 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos 7x — cos 3x = 3 sin5x.

1. $$\sin x+\sin 5x=\sin 3x$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x$$

   Тогда

   $$2\sin 3x\cos 2x-\sin 3x=0$$

   $$\sin 3x(2\cos 2x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-1=0$$

   1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi n}{3}$$

   2) $$2\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac12,$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

2. $$\cos 7x-\cos 3x=3\sin 5x$$

   Используем формулу разности косинусов:

   $$\cos 7x-\cos 3x=-2\sin 5x\sin 2x$$

   Тогда

   $$-2\sin 5x\sin 2x-3\sin 5x=0$$

   $$-\sin 5x(2\sin 2x+3)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 2x+3=0$$

   1) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi n}{5}$$

   2) $$2\sin 2x+3=0 \Rightarrow \sin 2x=-\frac32,$$

   что невозможно, так как $$|\sin 2x|\le 1.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$