Упр.1315 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1315 *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1315 1111

1) Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{2}{\tg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\alpha}{2}} = \frac{2}{\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}+\frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}} = \frac{2}{\frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}+\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}} = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha. $$

Следовательно, тождество верно.

2) Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha+\tg \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\frac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} = \frac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha} = \cos 2\alpha. $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

1) $$\frac{2}{\tg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\alpha}{2}}=\sin \alpha$$

2) $$\frac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha+\tg \alpha}=\cos 2\alpha$$