Упр.110 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 110. Упростить выражение a=(4-3 корень 2)2 + 8*(корень (34 — 24*корень 2)) — корень 5. Сравнить полученное число с нулем.

$$a=(4-3\sqrt2)^2+8\sqrt{34-24\sqrt2}-\sqrt5.$$

Раскроем квадрат и преобразуем выражение под корнем:

$$ (4-3\sqrt2)^2=16-24\sqrt2+18=34-24\sqrt2, $$

тогда

$$ a=34-24\sqrt2+8\sqrt{34-24\sqrt2}-\sqrt5. $$

Заметим, что

$$ 34-24\sqrt2=(3\sqrt2-4)^2, $$

поэтому

$$ \sqrt{34-24\sqrt2}=|3\sqrt2-4|. $$

Так как $$3\sqrt2>4,$$ то $$|3\sqrt2-4|=3\sqrt2-4.$$ Тогда

$$ a=34-24\sqrt2+8(3\sqrt2-4)-\sqrt5. $$

Упростим:

$$ a=34-24\sqrt2+24\sqrt2-32-\sqrt5=2-\sqrt5. $$

Сравним с нулём:

$$ \sqrt5>2 \Rightarrow 2-\sqrt5<0. $$

Ответ

$$a=2-\sqrt5,\quad a<0.$$