Упражнение 57 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) $$P_3(x)=x^3-3x^2+3x-2$$
Проверим целые корни: $$P_3(1)=1-3+3-2=-1,$$ $$P_3(2)=8-12+6-2=0.$$
Значит, $$x=2$$ — корень. Делим многочлен на $$x-2$$:
$$x^3-3x^2+3x-2=(x-2)(x^2-x+1).$$
У квадратного трёхчлена $$x^2-x+1=0$$ дискриминант
$$D=1-4=-3<0,$$
поэтому действительных корней у него нет.
Итак, действительный корень: $$x=2.$$
б) $$P_3(x)=2x^3+3x^2-3=2\left(x^3+\frac32x^2-\frac32\right).$$
Проверим корни: $$P_3(1)=2+3-3=2,$$ $$P_3(-1)=-2+3-3=-2,$$ $$P_3\left(\frac32\right)\neq 0.$$
Подбираем рациональный корень: $$x=1$$ не подходит, $$x=-\frac32$$ тоже не подходит. Разложим группировкой:
$$2x^3+3x^2-3=(x+1)(2x^2+x-3).$$
Далее
$$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1).$$
Следовательно,
$$P_3(x)=(x+1)(2x+3)(x-1).$$
Корни: $$x=-1,\; x=-\frac32,\; x=1.$$
в) $$P_3(x)=2x^3+2x^2-x-1.$$
Сгруппируем:
$$2x^3+2x^2-x-1=2x^2(x+1)-1(x+1)=(x+1)(2x^2-1).$$
Тогда
$$2x^2-1=0 \Rightarrow x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$
Итак, корни: $$x=-1,\; x=\frac{\sqrt2}{2},\; x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
г) $$P_4(x)=x^4-3x^3+2x^2+3x-6.$$
Проверим целые корни: $$P_4(2)=16-24+8+6-6=0.$$
Значит, $$x=2$$ — корень. Делим на $$x-2$$:
$$x^4-3x^3+2x^2+3x-6=(x-2)(x^3-x^2+3).$$
Проверим $$x=1$$:
$$1-1+3=3\neq 0,$$
$$x=-1$$:
$$-1-1+3=1\neq 0.$$
Дальше разложение над действительными числами не даёт дополнительных рациональных корней, поэтому из найденных корней имеем только $$x=2.$$