Упр.6.57 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Рассмотрим неравенство $$\frac{1}{2^x-1}+2^x>3.$$

   Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 1.$$ Получаем

   $$\frac{1}{t-1}+t-3>0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{1+t(t-1)-3(t-1)}{t-1}>0,$$

   $$\frac{t^2-4t+4}{t-1}>0,$$

   $$\frac{(t-2)^2}{t-1}>0.$$

   Так как $$ (t-2)^2>0 $$ при $$ t\ne 2,$$ а знаменатель должен быть положительным, то

   $$t>1,\quad t\ne 2.$$

   С учётом $$t=2^x$$ получаем

   $$2^x>1 \Rightarrow x>0,$$

   $$2^x\ne 2 \Rightarrow x\ne 1.$$

   Итак,

   $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$

2. б) Рассмотрим неравенство $$-\frac{2}{2^x-2}+2^x<3.$$

   Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 2.$$ Получаем

   $$-\frac{2}{t-2}+t-3<0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{-2+(t-3)(t-2)}{t-2}<0,$$

   $$\frac{t^2-5t+4}{t-2}<0,$$

   $$\frac{(t-1)(t-4)}{t-2}<0.$$

   Исследуем знак дроби. Получаем

   $$t\in(0;1)\cup(2;4).$$

   Возвращаясь к переменной $$x,$$ имеем

   $$2^x<1 \Rightarrow x<0,$$

   $$2^x>2 \Rightarrow x>1,$$

   $$2^x<4 \Rightarrow x<2.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;2).$$

3. в) Рассмотрим неравенство $$\frac{4}{9^x-1}+9^x>5.$$

   Положим $$t=9^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 1.$$ Получаем

   $$\frac{4}{t-1}+t-5>0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4+(t-5)(t-1)}{t-1}>0,$$

   $$\frac{t^2-6t+9}{t-1}>0,$$

   $$\frac{(t-3)^2}{t-1}>0.$$

   Отсюда

   $$t>1,\quad t\ne 3.$$

   Так как $$t=9^x,$$ то

   $$9^x>1 \Rightarrow x>0,$$

   $$9^x\ne 3 \Rightarrow x\ne \frac12.$$

   Итак,

   $$x\in(0;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty).$$

4. г) Рассмотрим неравенство $$\frac{12}{9^x-3}+7>9^x.$$

   Положим $$t=9^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 3.$$ Получаем

   $$\frac{12}{t-3}+7-t>0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{12+(7-t)(t-3)}{t-3}>0,$$

   $$\frac{-t^2+10t-9}{t-3}>0,$$

   $$\frac{(t-1)(9-t)}{t-3}>0.$$

   Исследование знаков даёт

   $$t\in(0;1)\cup(3;9).$$

   Возвращаясь к $$x,$$ получаем

   $$9^x<1 \Rightarrow x<0,$$

   $$9^x>3 \Rightarrow x>\frac12,$$

   $$9^x<9 \Rightarrow x<1.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;0)\cup(\tfrac12;1).$$

Ответ

а) $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;2)$$; в) $$x\in(0;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;0)\cup(\tfrac12;1).$$