Упр.6.25 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) Пусть $$t=3^x-1,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем
$$\frac{2}{t}+4=\frac{5}{t-1}.$$
Умножим на $$t(t-1)$$:
$$2(t-1)+4t(t-1)-5t=0,$$
$$2t-2+4t^2-4t-5t=0,$$
$$4t^2-7t-2=0.$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 4\cdot(-2)=49+32=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{8},$$
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac14.$$
Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=2.$$ Тогда
$$3^x-1=2,$$
$$3^x=3,$$
$$x=1.$$
б) Пусть $$t=5^x,$$ тогда $$t>0.$$ Имеем
$$\frac{1}{t}=\frac{1}{t-2}+2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{1}{t}-\frac{1}{t-2}-2=0.$$
Умножим на $$t(t-2)$$:
$$t- (t-2)-2t(t-2)=0,$$
$$2-2t^2+4t=0,$$
$$t^2-2t-1=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8,$$
$$t_{1,2}=1\pm \sqrt{2}.$$
Из них положительно только $$t=1+\sqrt{2},$$ но тогда
$$5^x=1+\sqrt{2},$$
$$x=\log_5(1+\sqrt{2}).$$
в) Пусть $$t=7^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем
$$\frac{t}{t-3}=\frac{18}{t^2-9}.$$
Так как $$t^2-9=(t-3)(t+3),$$ то
$$\frac{t}{t-3}=\frac{18}{(t-3)(t+3)}.$$
Умножим на $$t-3$$:
$$t=\frac{18}{t+3},$$
$$t(t+3)=18,$$
$$t^2+3t-18=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-18)=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{2},$$
$$t_1=3,\quad t_2=-6.$$
Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=3.$$ Тогда
$$7^x=3,$$
$$x=\log_7 3.$$
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=\log_5(1+\sqrt{2})$$; в) $$x=\log_7 3$$.
