Упр.2.59 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Введём замену:

$$u=3x-2y,\quad v=xy.$$

Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} u^2+2v=3,\\ 2v-u=1. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$u=2v-1$$. Подставим в первое:

$$ (2v-1)^2+2v=3 $$

$$ 4v^2-4v+1+2v-3=0 $$

$$ 2v^2-v-1=0 $$

$$ (2v+1)(v-1)=0 $$

Отсюда $$v=1$$ или $$v=-\frac12$$.

1) Если $$v=1$$, то $$u=1$$. Получаем систему

$$ \begin{cases} 3x-2y=1,\\ xy=1. \end{cases} $$

Подстановка $$y=\frac1x$$ даёт

$$ 3x-\frac{2}{x}=1 \;\Rightarrow\; 3x^2-x-2=0 $$

$$ (3x+2)(x-1)=0 $$

$$ x=1 \text{ или } x=-\frac23. $$

Тогда $$y=1$$ или $$y=-\frac32$$ соответственно.

2) Если $$v=-\frac12$$, то $$u=-2$$. Получаем систему

$$ \begin{cases} 3x-2y=-2,\\ xy=-\frac12. \end{cases} $$

Подстановка $$y=-\frac{1}{2x}$$ приводит к уравнению

$$ 3x+\frac{1}{x}=-2 \;\Rightarrow\; 3x^2+2x+1=0, $$

у которого $$D=4-12=-8<0$$, значит действительных решений нет.

Следовательно, для пункта а) получаем решения:

$$ (1;1),\quad \left(-\frac23;-\frac32\right). $$

ж) Введём замену:

$$u=x+y,\quad v=xy.$$

Тогда

$$ \begin{cases} u^2-2v=1,\\ u^3-3uv=-1. \end{cases} $$

Из первого уравнения

$$ v=\frac{u^2-1}{2}. $$

Подставим во второе:

$$ u^3-\frac{3u(u^2-1)}{2}=-1 $$

$$ 2u^3-3u^3+3u=-2 $$

$$ u^3-3u-2=0 $$

$$ (u+1)^2(u-2)=0. $$

Значит, $$u=-1$$ или $$u=2$$.

1) Если $$u=-1$$, то $$v=0$$. Тогда

$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ xy=0. \end{cases} $$

Отсюда

$$ (x,y)=(0,-1),\;(-1,0). $$

2) Если $$u=2$$, то $$v=\frac32$$. Тогда

$$ \begin{cases} x+y=2,\\ xy=\frac32. \end{cases} $$

Но

$$ t^2-2t+\frac32=0,\quad D=4-6=-2<0, $$

поэтому действительных решений нет.

Следовательно, для пункта ж) решения:

$$ (0;-1),\quad (-1;0). $$

Ответ

а) $$\left(1;1\right),\ \left(-\frac23;-\frac32\right)$$; ж) $$\left(0;-1\right),\ \left(-1;0\right)$$.