Упр.2.50 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Разделим уравнение на $$x^4$$, так как $$x \ne 0$$:

$$5x^8-4x^6-2x^4-4x^2+5=0$$

$$5x^4-4x^2-2-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^4}=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(5x^4+\frac{5}{x^4}\right)-4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2=0$$

Положим

$$t=x^2+\frac{1}{x^2}$$

Тогда

$$t^2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=x^4+2+\frac{1}{x^4}$$

откуда

$$x^4+\frac{1}{x^4}=t^2-2.$$

Подставим в уравнение:

$$5(t^2-2)-4t-2=0$$

$$5t^2-4t-12=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-12)=16+240=256$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 16}{10}$$

$$t_1=2,\qquad t_2=-\frac65$$

Так как $$t=x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$, значение $$t_2=-\frac65$$ не подходит.

Остаётся:

$$x^2+\frac{1}{x^2}=2$$

$$x^4-2x^2+1=0$$

$$\left(x^2-1\right)^2=0$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

Ответ

$$x=\pm 1$$