Упр.11.24 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим уравнение вида $$a\sin x+b\cos x=0.$$ Если $$a\neq 0$$ и $$b\neq 0,$$ то разделим обе части на $$\cos x$$ при $$\cos x\neq 0$$:

$$a\tan x+b=0,$$

откуда

$$\tan x=-\frac{b}{a}.$$

Если же $$\cos x=0,$$ то исходное уравнение принимает вид $$a\sin x=0,$$ и при $$a\neq 0$$ это невозможно, так как $$\sin x=\pm 1.$$ Значит, все решения находятся из уравнения для тангенса.

Для примера:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$$

делим на $$\cos x$$:

$$\tan x+\sqrt{3}=0,$$

$$\tan x=-\sqrt{3}.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

В общем виде для уравнения $$a\sin x+b\cos x=0$$ при $$a\neq 0,\ b\neq 0$$ получаем

$$x=\arctan\!\left(-\frac{b}{a}\right)+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\arctan\!\left(-\frac{b}{a}\right)+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$