Упр.1.83 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. Если $$a+b=3,$$ то удобно положить

   $$a=1{,}5+c,\quad b=1{,}5-c.$$

   Тогда

   $$ a^2+b^2=(1{,}5+c)^2+(1{,}5-c)^2 =2{,}25+3c+c^2+2{,}25-3c+c^2 =4{,}5+2c^2\ge 4{,}5. $$

2. Если $$a+b=4,$$ то положим

   $$a=2+c,\quad b=2-c.$$

   Тогда

   $$ a^2+b^2=(2+c)^2+(2-c)^2 =4+4c+c^2+4-4c+c^2 =8+2c^2\ge 8. $$

3. Если $$a+b=1,$$ то положим

   $$a=\frac12+c,\quad b=\frac12-c.$$

   Тогда

   $$ a^4+b^4=\left(\frac12+c\right)^4+\left(\frac12-c\right)^4. $$

   После раскрытия скобок получаем

   $$ a^4+b^4=\frac18+3c^2+2c^4\ge \frac18. $$

4. Если $$a+b=4,$$ то положим

   $$a=2+c,\quad b=2-c.$$

   Тогда

   $$ a^4+b^4=(2+c)^4+(2-c)^4=32+48c^2+2c^4\ge 32. $$

Ответ

а) $$a^2+b^2\ge 4{,}5;$$
б) $$a^2+b^2\ge 8;$$
в) $$a^4+b^4\ge \frac18;$$
г) $$a^4+b^4\ge 32.$$