Упр.9.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (cos(180 + a) * cos(-a)) / (sin(-a) * sin (90 + a))

1. $$\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\sin(90^\circ+\alpha)}$$

   Используем формулы приведения:
   $$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha,\quad \cos(-\alpha)=\cos\alpha,$$
   $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha.$$

   Тогда
   $$\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\sin(90^\circ+\alpha)}= \frac{-\cos\alpha\cdot \cos\alpha}{-\sin\alpha\cdot \cos\alpha}= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\operatorname{ctg}\alpha.$$

2. $$\frac{\sin(\pi-t)\cos(2\pi-t)}{\tg(\pi-t)\cos(\pi-t)}$$

   По формулам приведения:
   $$\sin(\pi-t)=\sin t,\quad \cos(2\pi-t)=\cos t,$$
   $$\tg(\pi-t)=-\tg t,\quad \cos(\pi-t)=-\cos t.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin(\pi-t)\cos(2\pi-t)}{\tg(\pi-t)\cos(\pi-t)}= \frac{\sin t\cdot \cos t}{(-\tg t)\cdot(-\cos t)}= \frac{\sin t\cdot \cos t}{\tg t\cdot \cos t}= \frac{\sin t}{\tg t}=\cos t.$$

3. $$\frac{\sin(-\alpha)\ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ-\alpha)\tg(180^\circ+\alpha)}$$

   Используем формулы приведения:
   $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha,$$
   $$\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin(-\alpha)\ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ-\alpha)\tg(180^\circ+\alpha)}= \frac{(-\sin\alpha)(-\ctg\alpha)}{\cos\alpha\cdot \tg\alpha}= \frac{\sin\alpha\cdot \ctg\alpha}{\cos\alpha\cdot \tg\alpha}.$$

   Так как $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},$$
   получаем
   $$\frac{\sin\alpha\cdot \ctg\alpha}{\cos\alpha\cdot \tg\alpha}=\ctg\alpha.$$

4. $$\frac{\sin(\pi+t)\sin(2\pi+t)}{\tg(\pi+t)\cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)}$$

   По формулам приведения:
   $$\sin(\pi+t)=-\sin t,\quad \sin(2\pi+t)=\sin t,$$
   $$\tg(\pi+t)=\tg t,\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\sin t.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin(\pi+t)\sin(2\pi+t)}{\tg(\pi+t)\cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)}= \frac{(-\sin t)\sin t}{\tg t\cdot(-\sin t)}= \frac{\sin t}{\tg t}=\cos t.$$

Ответ

а) $$\operatorname{ctg}\alpha$$; б) $$\cos t$$; в) $$\operatorname{ctg}\alpha$$; г) $$-\cos t$$.