Упр.60.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) уравнение х^4 — 8х^2 + 4 = а не имеет корней;
б) уравнение Зх^4 + 4x^3 — 12x^2 = а имеет не менее трёх корней?

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-8x^2+4.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$

Исследуем знак производной:

$$ f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty,-2)\cup(0,2),\\ f'(x)>0 \text{ при } x\in(-2,0)\cup(2,+\infty). $$

Значит, в точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ достигаются минимумы, а в точке $$x=0$$ — локальный максимум:

$$ f(-2)=16-32+4=-12,\\ f(0)=4,\\ f(2)=16-32+4=-12. $$

Следовательно, область значений функции:

$$y\in[-12,+\infty).$$

Уравнение $$x^4-8x^2+4=a$$ не имеет корней тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ лежит ниже наименьшего значения функции, то есть

$$a<-12.$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=3x^4+4x^3-12x^2.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$ g'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty,-2)\cup(0,1),\\ g'(x)>0 \text{ при } x\in(-2,0)\cup(1,+\infty). $$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (0,1)$$, возрастает на $$(-2,0)$$ и $$ (1,+\infty).$$

Найдём значения в точках экстремума:

$$ g(-2)=3\cdot16+4\cdot(-8)-12\cdot4=-32,\\ g(0)=0,\\ g(1)=3+4-12=-5. $$

График функции имеет два минимума и один максимум, поэтому горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает его не менее чем в трёх точках при

$$-5\le a\le 0.$$

Ответ

а) $$a<-12$$; б) $$a\in[-5;0]$$.