Упр.53.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 1024; б) 512?
Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

Сумма биномиальных коэффициентов в разложении $$\left(a+b\right)^n$$ равна $$2^n$$.

а) Если $$2^n=1024,$$ то $$1024=2^{10},$$ значит, $$n=10.$$

Наибольший коэффициент в разложении получается при среднем члене:

$$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\,5!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=252.$$

Так как $$n=10$$ — чётное, наибольший коэффициент встречается один раз.

б) Если $$2^n=512,$$ то $$512=2^9,$$ значит, $$n=9.$$

При нечётном $$n$$ наибольших коэффициента два, они равны:

$$C_9^4=C_9^5=\frac{9!}{4!\,5!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=126.$$

Следовательно, наибольший коэффициент равен $$126,$$ и он встречается в двух членах разложения.

Ответ

а) $$252,$$ один член; б) $$126,$$ два члена.