Упр.52.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 120 < А(k - 3)^2 < 140; б) С6^2 < Аn^2 < С8^2; в) С10^2 < Аx^2 < 60; г) С19^2 < Аx^2 + Сx^2 < 200.

1. $$120<A_{k-3}^2<140$$

   По формуле $$A_n^2=\dfrac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$$ получаем:

   $$A_{k-3}^2=(k-3)(k-4)=k^2-7k+12.$$

   Тогда

   $$120<k^2-7k+12<140$$

   $$108<k^2-7k<128$$

   $$108<k(k-7)<128.$$

   Подбором находим:

   $$k=15,$$

   так как $$15\cdot 8=120,$$ и это единственное подходящее натуральное значение.

2. $$C_6^2<A_n^2<C_8^2$$

   Вычислим сочетания:

   $$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15,\qquad C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28.$$

   А также

   $$A_n^2=n(n-1).$$

   Получаем:

   $$15<n(n-1)<28.$$

   Подбором находим:

   $$n=5,$$

   так как $$5\cdot 4=20.$$

3. $$C_{10}^2<A_x^2<60$$

   Вычислим:

   $$C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45,$$

   а

   $$A_x^2=x(x-1).$$

   Тогда

   $$45<x(x-1)<60.$$

   Подбором получаем:

   $$x=8,$$

   так как $$8\cdot 7=56.$$

4. $$C_{19}^2<A_x^2+C_x^2<200$$

   Вычислим:

   $$C_{19}^2=\frac{19\cdot 18}{2}=171.$$

   Кроме того,

   $$A_x^2=x(x-1),\qquad C_x^2=\frac{x(x-1)}{2}.$$

   Тогда

   $$171<x(x-1)+\frac{x(x-1)}{2}<200,$$

   $$171<\frac{3}{2}x(x-1)<200,$$

   $$114<x(x-1)<\frac{400}{3}.$$

   Подбором находим:

   $$x=12,$$

   так как $$12\cdot 11=132.$$

Ответ

а) $$15$$; б) $$5$$; в) $$8$$; г) $$12$$.