Упр.39.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

система
4^х, если х < 1, -x^2 + 1, если х > = 1.
а) Вычислите f(-3); f(-2,5); f(0); f(1); f(2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} 4^x, & x<1,\\ -x^2+1, & x\ge 1. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-3)=4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}, \qquad f(-2{,}5)=4^{-2{,}5}=\frac{1}{4^{2{,}5}}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}, $$

$$ f(0)=4^0=1, \qquad f(1)=-1^2+1=0, \qquad f(2)=-2^2+1=-4+1=-3. $$

б) Построим график функции.

При $$x<1$$ график задаёт показательная функция $$y=4^x$$. Для построения удобно взять точки:

$$ (0;1), \quad (1;4). $$

Точка $$x=1$$ не входит в эту часть графика, поэтому в точке $$\left(1;4\right)$$ ставим пустую точку.

При $$x\ge 1$$ график задаёт парабола $$y=-x^2+1$$. Для построения возьмём точки:

$$ (1;0), \quad (2;-3), \quad (3;-8). $$

Точка $$\left(1;0\right)$$ принадлежит графику, поэтому она закрашена.

в) По графику получаем:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$;
• имеет горизонтальную асимптоту $$y=0$$ при $$x\to -\infty$$;
• ограничена сверху, не ограничена снизу;
• наибольшего и наименьшего значений не имеет;
• непрерывна на промежутках $$(-\infty;1)$$ и $$[1;+\infty)$$;
• множество значений: $$E(f)=(-\infty;4)$$.

Ответ

$$ f(-3)=\frac{1}{64},\quad f(-2{,}5)=\frac{1}{32},\quad f(0)=1,\quad f(1)=0,\quad f(2)=-3. $$

График состоит из части показательной функции $$y=4^x$$ при $$x<1$$ и части параболы $$y=-x^2+1$$ при $$x\ge 1$$.

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;4).$$