Упр.38.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) на отрезке [1; 8];
б) на интервале (3; 5);
в) на луче [1; +бесконечность);
г) на полуинтервале (0; 1].

Рассмотрим функцию $$y=x^{-\frac23}=\frac{1}{x^{\frac23}}.$$

Так как $$y’=-\frac23x^{-\frac53}<0$$ при $$x>0,$$ функция убывает на своей области определения.

1. На отрезке $$[1;8]$$ наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:

   $$y(1)=1^{-\frac23}=1,$$

   $$y(8)=8^{-\frac23}=\frac{1}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{4}.$$

   Значит, $$y_{\max}=1,$$ $$y_{\min}=\frac14.$$

2. На интервале $$\left(3;5\right)$$ функция убывает, но границы интервала не входят в область рассмотрения, поэтому наибольшее и наименьшее значения не достигаются.

   $$y_{\min}$$ — не существует, $$y_{\max}$$ — не существует.

3. На луче $$[1;+\infty)$$ наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=1.$$

   При $$x\to+\infty$$ значение функции стремится к нулю, но нуля не достигает, поэтому наименьшего значения нет.

   $$y_{\min}$$ — не существует, $$y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$\left(0;1\right]$$ наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=1.$$

   При $$x\to0+$$ функция не ограничена сверху, поэтому наименьшего значения нет.

   $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}$$ — не существует.

Ответ

а) $$y_{\min}=\frac14,\ y_{\max}=1$$;

б) $$y_{\min}$$ — не существует, $$y_{\max}$$ — не существует;

в) $$y_{\min}$$ — не существует, $$y_{\max}=1$$;

г) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ — не существует.