Упр.32.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) [0; 2пи/3];
б) [2пи; 8пи/3];
в) [-2пи; -4пи/3];
г) [6пи; 26пи/3].

Подробный ответ

Функция $$y=\sin x$$ непрерывна на любом отрезке, поэтому наибольшее и наименьшее значения на каждом из данных отрезков достигаются либо в концах отрезка, либо в стационарных точках, где

$$y’=(\sin x)’=\cos x,$$

$$\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$ стационарная точка: $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции:
$$ y(0)=\sin 0=0,\qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad y\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. $$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
На отрезке $$\left[2\pi;\frac{8\pi}{3}\right]$$ стационарная точка: $$x=\frac{5\pi}{2}.$$
$$ y(2\pi)=\sin 2\pi=0,\qquad y\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\frac{5\pi}{2}=1,\qquad y\!\left(\frac{8\pi}{3}\right)=\sin\frac{8\pi}{3}=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. $$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
На отрезке $$\left[-2\pi;-\frac{4\pi}{3}\right]$$ стационарная точка: $$x=-\frac{3\pi}{2}.$$
$$ y(-2\pi)=\sin(-2\pi)=0,\qquad y\!\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1,\qquad y\!\left(-\frac{4\pi}{3}\right)=\sin\left(-\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}. $$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
На отрезке $$\left[6\pi;\frac{26\pi}{3}\right]$$ стационарные точки: $$x=\frac{13\pi}{2},\ \frac{15\pi}{2},\ \frac{17\pi}{2}.$$
$$ y(6\pi)=\sin 6\pi=0, $$
$$ y\!\left(\frac{13\pi}{2}\right)=\sin\frac{13\pi}{2}=\sin\left(6\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1, $$
$$ y\!\left(\frac{15\pi}{2}\right)=\sin\frac{15\pi}{2}=\sin\left(7\pi+\frac{\pi}{2}\right)=-1, $$
$$ y\!\left(\frac{17\pi}{2}\right)=\sin\frac{17\pi}{2}=\sin\left(8\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1, $$
$$ y\!\left(\frac{26\pi}{3}\right)=\sin\frac{26\pi}{3}=\sin\left(8\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}. $$
Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$