Упр.32.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х^2 — 4х + 5 + |1 — х|, [0; 4];
б) у = |х^3 — 1| — Зх, [-1; 3].

а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x+5+|1-x|$$ на отрезке $$[0;4].$$

Разобьём отрезок по точке, где меняется знак выражения под модулем: $$1-x=0 \Rightarrow x=1.$$

1) При $$0\le x\le 1$$ имеем $$|1-x|=1-x,$$ тогда

$$ y=x^2-4x+5+1-x=x^2-5x+6. $$

Найдём производную:

$$ y'(x)=2x-5. $$

На отрезке $$[0;1]$$ производная отрицательна, значит функция убывает. Поэтому на этом промежутке:

$$ y(0)=0^2-5\cdot 0+6=6,\qquad y(1)=1^2-5\cdot 1+6=2. $$

2) При $$1\le x\le 4$$ имеем $$|1-x|=x-1,$$ тогда

$$ y=x^2-4x+5+x-1=x^2-3x+4. $$

Найдём производную:

$$ y'(x)=2x-3. $$

Критическая точка:

$$ 2x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}. $$

Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

$$ y\!\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\cdot \frac{3}{2}+4=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4=\frac{7}{4}=1{,}75, $$

$$ y(1)=1^2-3\cdot 1+4=2,\qquad y(4)=4^2-3\cdot 4+4=8. $$

Сравнивая полученные значения, получаем:

$$ y_{\min}=1{,}75,\qquad y_{\max}=8. $$

б) Рассмотрим функцию $$y=|x^3-1|-3x$$ на отрезке $$[-1;3].$$

Точка смены знака под модулем определяется из уравнения

$$ x^3-1=0 \Rightarrow x=1. $$

1) При $$-1\le x\le 1$$ имеем $$|x^3-1|=1-x^3,$$ тогда

$$ y=1-x^3-3x. $$

Производная:

$$ y'(x)=-3x^2-3<0. $$

Значит, функция убывает на $$[-1;1].$$ Тогда

$$ y(-1)=1-(-1)^3-3\cdot(-1)=1+1+3=5, $$

$$ y(1)=1-1-3=-3. $$

2) При $$1\le x\le 3$$ имеем $$|x^3-1|=x^3-1,$$ тогда

$$ y=x^3-1-3x=x^3-3x-1. $$

Производная:

$$ y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1). $$

На отрезке $$[1;3]$$ критическая точка только $$x=1.$$ Проверим значение на правом конце:

$$ y(3)=3^3-3\cdot 3-1=27-9-1=17. $$

Сравниваем значения в точках $$x=-1,1,3$$:

$$ y(-1)=5,\qquad y(1)=-3,\qquad y(3)=17. $$

Следовательно,

$$ y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=17. $$

Ответ

а) $$y_{\min}=1{,}75,\; y_{\max}=8.$$

б) $$y_{\min}=-3,\; y_{\max}=17.$$