Упр.31.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = Зх^2 — 4х + 5;
б) у = 3 + 2х — х^2;
в) у = 7 — х — 2х^2;
г) у = 5х^2 — 15x — 4.
а) $$y=3x^2-4x+5$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=3(-x)^2-4(-x)+5=3x^2+4x+5,$$
и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=6x-4.$$
Критическая точка:
$$6x-4=0,\quad x=\frac23.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена вверх, значит в точке $$x=\frac23$$ достигается минимум:
$$y_{\min}=3\left(\frac23\right)^2-4\cdot\frac23+5=\frac{11}{3}.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac23]$$ и возрастает на $$[\frac23;+\infty).$$
Для построения графика возьмём несколько точек:
$$x=-1,\ 0,\ 1,\ 2;$$
$$y=12,\ 5,\ 4,\ 9.$$
б) $$y=3+2x-x^2$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=3-2x-x^2.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=2-2x.$$
Критическая точка:
$$2-2x=0,\quad x=1.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, в точке $$x=1$$ достигается максимум:
$$y_{\max}=3+2\cdot1-1^2=4.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
Для построения графика возьмём точки:
$$x=-1,\ 0,\ 2,\ 3;$$
$$y=0,\ 3,\ 3,\ 0.$$
в) $$y=7-x-2x^2$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=7+x-2x^2.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-1-4x.$$
Критическая точка:
$$-1-4x=0,\quad x=-\frac14.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, в точке $$x=-\frac14$$ достигается максимум:
$$y_{\max}=7-\left(-\frac14\right)-2\left(-\frac14\right)^2=7\frac18.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac14]$$ и убывает на $$[-\frac14;+\infty).$$
Для построения графика возьмём точки:
$$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2;$$
$$y=1,\ 6,\ 4,\ -3.$$
г) $$y=5x^2-15x-4$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=5x^2+15x-4.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=10x-15.$$
Критическая точка:
$$10x-15=0,\quad x=\frac32.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, в точке $$x=\frac32$$ достигается минимум:
$$y_{\min}=5\left(\frac32\right)^2-15\cdot\frac32-4=-\frac{61}{4}.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac32]$$ и возрастает на $$[\frac32;+\infty).$$
Для построения графика возьмём точки:
$$x=0,\ 1,\ 2,\ 3;$$
$$y=-4,\ -14,\ -14,\ -4.$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ минимум в точке $$\left(\frac23;\frac{11}{3}\right),$$ убывает на $$(-\infty;\frac23],$$ возрастает на $$[\frac23;+\infty).$$
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ максимум в точке $$\left(1;4\right),$$ возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ максимум в точке $$\left(-\frac14;\frac{57}{8}\right),$$ возрастает на $$(-\infty;-\frac14],$$ убывает на $$[-\frac14;+\infty).$$
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ минимум в точке $$\left(\frac32;-\frac{61}{4}\right),$$ убывает на $$(-\infty;\frac32],$$ возрастает на $$[\frac32;+\infty).$$
