Упр.30.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х^3 — 3ах^2 + 27x — 5;
б) у = x^3 — 3ах^2 + 75x — 10?

1. а) Найдём производную:

   $$y’=(x^3-3ax^2+27x-5)’=3x^2-6ax+27.$$

   Стационарные точки определяются из уравнения

   $$3x^2-6ax+27=0.$$

   Чтобы функция имела одну стационарную точку, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

   $$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 27=36a^2-324=36(a^2-9).$$

   $$36(a^2-9)=0,$$

   $$a^2=9,$$

   $$a=\pm 3.$$

2. б) Найдём производную:

   $$y’=(x^3-3ax^2+75x-10)’=3x^2-6ax+75.$$

   Стационарные точки определяются из уравнения

   $$3x^2-6ax+75=0.$$

   Для одной стационарной точки дискриминант должен быть равен нулю:

   $$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 75=36a^2-900=36(a^2-25).$$

   $$36(a^2-25)=0,$$

   $$a^2=25,$$

   $$a=\pm 5.$$

Ответ

а) $$a=\pm 3$$; б) $$a=\pm 5$$.