Упр.30.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y = x^5 + Зх — 6 возрастает на (-бесконечность; +бесконечность);
б) у = 15 — 2/x — 1/x^3 возрастает на (-бесконечность; 0);
в) у = х^7 + 7х^3 + 2х — 42 возрастает на (-бесконечность; +бесконечность);
г) у = 21х — 1/x^5 возрастает на (0; +бесконечность).

Подробный ответ

$$y=x^5+3x-6$$
Найдём производную:
$$y'(x)=(x^5)’ + (3x)’ — 6′ = 5x^4+3.$$
Так как $$x^4 \ge 0$$, то
$$5x^4+3>0$$
при всех $$x \in (-\infty;+\infty)$$. Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=(15)’ — 2(x^{-1})’ — (x^{-3})’ = 0 — 2(-x^{-2}) — (-3x^{-4}) = \frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}.$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ имеем $$x^2>0$$ и $$x^4>0$$, поэтому
$$\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$.
$$y=x^7+7x^3+2x-42$$
Найдём производную:
$$y'(x)=(x^7)’ + 7(x^3)’ + (2x-42)’ = 7x^6+21x^2+2.$$
Так как $$x^6 \ge 0$$ и $$x^2 \ge 0$$, то
$$7x^6+21x^2+2>0$$
при всех $$x \in (-\infty;+\infty)$$. Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=21x-\frac{1}{x^5}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=(21x)’-(x^{-5})’ = 21-(-5x^{-6}) = 21+\frac{5}{x^6}.$$
На промежутке $$ (0;+\infty) $$ имеем $$x^6>0$$, значит
$$21+\frac{5}{x^6}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$ (0;+\infty) $$.