Упр.29.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) f(x) = корень(3 — x), Р’(-2; 3);
Р±) f(x) = корень(3 — x), Р’(4; 0).

Найдём уравнение касательной к графику функции $$f(x)=\sqrt{3-x}$$, проходящей через заданную точку.

Производная функции:

$$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$

Уравнение касательной в точке с абсциссой $$a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

1. а) $$B(-2;3)$$

   Точка касания $$A(a; \sqrt{3-a})$$ должна лежать на графике, а касательная — проходить через точку $$B$$:

   $$3=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(-2-a).$$

   Положим $$t=\sqrt{3-a}$$, тогда $$a=3-t^2$$. Получаем:

   $$3=t+\frac{5-t^2}{2t}.$$

   Умножим на $$2t$$:

   $$6t=2t^2+5-t^2,$$

   $$t^2-6t+5=0,$$

   $$t=1 \text{ или } t=5.$$

   Тогда

   $$a=3-1=2 \quad \text{или} \quad a=3-25=-22.$$

   1) При $$a=2$$:

   $$f(2)=1,\qquad f'(2)=-\frac12,$$

   $$y-1=-\frac12(x-2),$$

   $$y=-0{,}5x+2.$$

   2) При $$a=-22$$:

   $$f(-22)=5,\qquad f'(-22)=-\frac{1}{10},$$

   $$y-5=-\frac{1}{10}(x+22),$$

   $$y=-0{,}1x+2{,}8.$$

2. б) $$B(4;0)$$

   Аналогично:

   $$0=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(4-a).$$

   Положим $$t=\sqrt{3-a}$$, тогда $$a=3-t^2$$. Получаем:

   $$0=t-\frac{1+t^2}{2t},$$

   $$2t^2=1+t^2,$$

   $$t^2=1,$$

   $$t=1,$$

   откуда $$a=2.$$

   Тогда

   $$f(2)=1,\qquad f'(2)=-\frac12,$$

   $$y-1=-\frac12(x-2),$$

   $$y=-0{,}5x+2.$$

Ответ

а) $$y=-0{,}1x+2{,}8$$; $$y=-0{,}5x+2$$.

б) $$y=-0{,}5x+2$$.