Упр.23.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos a * sin (a + b);
6) sin (60 + a) * sin (60 — a);
РІ) sin b * cos (a + b);
Рі) cos (a + РїРё/4) * cos (a — РїРё/4).

1. $$\cos \alpha \cdot \sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\bigl(\sin((\alpha+\beta)+\alpha)+\sin((\alpha+\beta)-\alpha)\bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\sin(2\alpha+\beta)+\sin\beta\bigr)$$

2. $$\sin(60^\circ+\alpha)\cdot \sin(60^\circ-\alpha)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((60^\circ+\alpha)-(60^\circ-\alpha))-\cos((60^\circ+\alpha)+(60^\circ-\alpha))\bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\cos 2\alpha-\cos 120^\circ\bigr)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha+\frac{1}{4}$$

3. $$\sin\beta\cdot \cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(\beta+\alpha+\beta)+\sin(\beta-\alpha-\beta)\bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\sin(2\beta+\alpha)-\sin\alpha\bigr)$$

4. $$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\right)+\cos\left(\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)$$

   $$=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha+\cos\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha$$

Ответ

а) $$\frac{1}{2}\sin(2\alpha+\beta)+\frac{1}{2}\sin\beta$$;
б) $$\frac{1}{2}\cos 2\alpha+\frac{1}{4}$$;
в) $$\frac{1}{2}\sin(2\beta+\alpha)-\frac{1}{2}\sin\alpha$$;
г) $$\frac{1}{2}\cos 2\alpha$$.