Упр.21.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^2 (2x — РїРё/6) = 3/4;
6) cos^2 (x + РїРё/3) = 1;
РІ) sin^2 (x + РїРё/2) = 1/2;
Рі) cos^2 (3x — РїРё/4) = 3/4.

1. $$\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac34$$

   Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

   $$\frac{1-\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)}{2}=\frac34$$

   $$1-\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac32$$

   $$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12$$

   Тогда

   $$4x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Отсюда:

   $$4x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\pi+2\pi n$$

   $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2. $$\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1$$

   Так как $$\cos^2 t=1$$ только при $$\cos t=\pm1$$, получаем:

   $$x+\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$

3. $$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac12$$

   Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

   $$\frac{1-\cos(2x+\pi)}{2}=\frac12$$

   $$\cos(2x+\pi)=0$$

   Следовательно,

   $$2x+\pi=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

4. $$\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac34$$

   Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

   $$\frac{1+\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac34$$

   $$1+\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac32$$

   $$\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac12$$

   Тогда

   $$6x-\frac{\pi}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Отсюда:

   $$x=\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$;
в) $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$;
г) $$x=\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}$$ или $$x=-\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}$$, $$n\in\mathbb Z$$.