Упр.13.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = -2cos2(x + пи/3);
б) у = -2sin3(x + пи/2).

Подробный ответ

а) $$y=-2\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$
Это график функции $$y=\cos x$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{3}$$, сжатый по оси $$x$$ в 2 раза и отражённый относительно оси $$x$$ с растяжением по оси $$y$$ в 2 раза.
Найдём нули функции:
$$ \cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 $$
$$ 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} $$
Для построения удобно взять ближайшие нули:
$$ x_0=-\frac{7\pi}{12},\qquad x_1=-\frac{\pi}{12} $$
Середина дуги между ними:
$$ x=\frac{1}{2}\left(-\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{\pi}{3} $$
$$ y=-2\cos 2\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=-2\cos 0=-2 $$
По этим точкам строится график функции.
б) $$y=-2\sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
Это график функции $$y=\sin x$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{2}$$, сжатый по оси $$x$$ в 3 раза и отражённый относительно оси $$x$$ с растяжением по оси $$y$$ в 2 раза.
Найдём нули функции:
$$ \sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0 $$
$$ 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{3} $$
Возьмём соседние нули:
$$ x_0=-\frac{\pi}{2},\qquad x_1=-\frac{\pi}{6} $$
Середина дуги:
$$ x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi}{3} $$
$$ y=-2\sin 3\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)=-2\sin\frac{\pi}{2}=-2 $$
По этим точкам строится график функции.