Упр.10.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

система
sin x, если -пи < = x < = 0, корень(x), если x > 0.
а) Вычислите: f(-пи/2), f(0), f(1), f(пи^2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \sin x, & -\pi \le x \le 0,\\ \sqrt{x}, & x>0. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1, $$

$$ f(0)=\sin 0=0, $$

$$ f(1)=\sqrt{1}=1, $$

$$ f(\pi^2)=\sqrt{\pi^2}=\pi. $$

б) Построим график функции.

На отрезке $$[-\pi;0]$$ это график функции $$y=\sin x$$. Для построения удобно отметить точки:

$$ (-\pi,0),\quad \left(-\frac{\pi}{2},-1\right),\quad (0,0). $$

При $$x>0$$ строим график функции $$y=\sqrt{x}$$. Для него можно взять точки:

$$ (0,0),\quad (1,1),\quad (4,2). $$

Итоговый график состоит из двух частей: дуги синусоиды на $$[-\pi;0]$$ и ветви корня при $$x>0$$.

в) По графику получаем:

$$ D(f)=[-\pi;+\infty), $$

$$ E(f)=[-1;+\infty), $$

функция убывает на $$[-\pi;-\frac{\pi}{2}]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};+\infty\right),$$

$$ f(x)<0 \text{ на } (-\pi;0), \qquad f(x)>0 \text{ на } (0;+\infty), $$

функция ограничена снизу, причём

$$ \min f(x)=-1 \text{ при } x=-\frac{\pi}{2}, $$

не является ни чётной, ни нечётной, не является периодической и непрерывна на всей области определения.

Ответ

а) $$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(\pi^2)=\pi.$$

б) График состоит из частей $$y=\sin x$$ при $$-\pi \le x \le 0$$ и $$y=\sqrt{x}$$ при $$x>0$$.

в) $$D(f)=[-\pi;+\infty),\ E(f)=[-1;+\infty),$$ минимум функции равен $$-1$$.