Упр.43 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(3x-x^2) < 4-x; 3) v(2-x) > x;
2) v(x^2+3x+3) < 2x+1; 4) v(x^2-1) > x.

Подробный ответ

$$\sqrt{3x-x^2}<4-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$4-x>0,$$ то есть $$x<4.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x-x^2<(4-x)^2$$
$$3x-x^2<16-8x+x^2$$
$$2x^2-11x+16>0.$$
Дискриминант:
$$D=(-11)^2-4\cdot 2\cdot 16=121-128=-7<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$2x^2-11x+16>0$$ при всех $$x.$$
Остаётся учесть область определения:
$$3x-x^2\ge 0$$
$$x(3-x)\ge 0$$
$$0\le x\le 3.$$
С учётом условия $$4-x>0$$ получаем тот же промежуток.
$$\sqrt{x^2+3x+3}<2x+1$$
Необходимо, чтобы правая часть была положительной:
$$2x+1>0,\quad x>-\frac12.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+3x+3<(2x+1)^2$$
$$x^2+3x+3<4x^2+4x+1$$
$$3x^2+x-2>0.$$
Разложим на множители:
$$3x^2+x-2=(3x-2)(x+1).$$
Тогда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac23.$$
С учётом условия $$x>-\frac12$$ остаётся:
$$x>\frac23.$$
$$\sqrt{2-x}>x$$
Если $$x<0,$$ то неравенство выполняется автоматически, так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна.
При $$x\ge 0$$ можно возвести обе части в квадрат:
$$2-x>x^2$$
$$x^2+x-2<0$$
$$ (x+2)(x-1)<0.$$
Отсюда
$$-2<x<1.$$
С учётом области определения $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2,$$ получаем:
$$x<1.$$
$$\sqrt{x^2-1}>x$$
Область определения:
$$x^2-1\ge 0,\quad x\le -1 \ \text{или}\ x\ge 1.$$
Если $$x<0,$$ то неравенство выполняется, так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Значит, подходят все $$x\le -1.$$
Если $$x\ge 0,$$ то возводим в квадрат:
$$x^2-1>x^2,$$
что невозможно.
Следовательно, решение:
$$x\le -1.$$