Упр.18 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-2)/(x+3)?(3x-4)/(x+3);
2) (x-1)/x-(x+1)/(x-1) < 2.

1. $$\frac{x-2}{x+3}\ge \frac{3x-4}{x+3}$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\frac{x-2-(3x-4)}{x+3}\ge 0$$

   $$\frac{-2x+2}{x+3}\ge 0$$

   $$\frac{x-1}{x+3}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=1$$.

   Знак дроби не положителен на промежутке $$(-3;1]$$.

2. $$\frac{x-1}{x}-\frac{x+1}{x-1}<2$$

   Приведём к одной дроби:

   $$\frac{(x-1)^2-x(x+1)}{x(x-1)}<2$$

   $$\frac{x^2-2x+1-x^2-x}{x(x-1)}<2$$

   $$\frac{-3x+1}{x(x-1)}<2$$

   Перенесём $2$ в левую часть:

   $$\frac{-3x+1-2x(x-1)}{x(x-1)}<0$$

   $$\frac{-2x^2-x+1}{x(x-1)}<0$$

   Умножим числитель и знаменатель на $-1$:

   $$\frac{2x^2+x-1}{x(x-1)}>0$$

   Разложим числитель на множители:

   $$2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$$

   Тогда

   $$\frac{(2x-1)(x+1)}{x(x-1)}>0$$

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;\frac12,\;1$$.

   Знак дроби положителен на промежутках $$(-\infty;-1)\cup\left(0;\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$.

Ответ

1) $$(-3;1]$$

2) $$(-\infty;-1)\cup\left(0;\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$