Упр.11 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=3x^2-2x+1; 3) y=-3x^2-x-2;
2) y=x+9/x; 4) y=2x/(x^2-4).

1. $$y=3x^2-2x+1$$

   Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине.

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 3}=\frac13$$

   $$y\left(\frac13\right)=3\cdot\frac19-2\cdot\frac13+1=\frac13-\frac23+1=\frac23$$

   Следовательно, область значений:

   $$\left[\frac23;+\infty\right)$$

2. $$y=x+\frac9x$$

   Пусть $$x\ne 0$$. Умножим на $$x$$:

   $$yx=x^2+9$$

   $$x^2-yx+9=0$$

   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицателен:

   $$D=y^2-4\cdot 1\cdot 9\ge 0$$

   $$y^2-36\ge 0$$

   $$y^2\ge 36$$

   $$|y|\ge 6$$

   Значит,

   $$(-\infty;-6]\cup[6;+\infty)$$

3. $$y=-3x^2-x-2$$

   Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине.

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot(-3)}=-\frac16$$

   $$y\left(-\frac16\right)=-3\cdot\frac1{36}+\frac16-2=-\frac1{12}+\frac16-2=-\frac{23}{12}$$

   Следовательно, область значений:

   $$(-\infty;-\frac{23}{12}]$$

4. $$y=\frac{2x}{x^2-4}$$

   Пусть $$x^2-4\ne 0$$. Тогда

   $$y(x^2-4)=2x$$

   $$yx^2-2x-4y=0$$

   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицателен:

   $$D=2^2+16y^2\ge 0$$

   Это верно при любом действительном $$y$$, значит функция принимает любые действительные значения.

   Область значений:

   $$(-\infty;+\infty)$$

Ответ

1) $$\left[\frac23;+\infty\right)$$;
2) $$(-\infty;-6]\cup[6;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-\frac{23}{12}]$$;
4) $$(-\infty;+\infty)$$.