Упр.9.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 9.14. Решите уравнение 5x^17-3x^8=2.

Решим уравнение:

$$5x^{17}-3x^8=2.$$

Если $$x=0,$$ то левая часть равна $$0,$$ а правая — $$2,$$ значит, $$x\neq 0.$$ Разделим обе части уравнения на $$x^{17}$$:

$$5-\frac{3}{x^9}=\frac{2}{x^{17}}.$$

Положим $$t=\frac{1}{x}.$$ Тогда получаем

$$5-3t^9=2t^{17},$$

или

$$2t^{17}+3t^9=5.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=t^{17}$$ и $$g(t)=t^9.$$ Обе они возрастают на $$\mathbb{R},$$ значит, и функция

$$2t^{17}+3t^9$$

тоже возрастает на $$\mathbb{R}.$$ Следовательно, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$t=1$$:

$$2\cdot 1^{17}+3\cdot 1^9=2+3=5.$$

Значит, $$t=1.$$ Тогда

$$\frac{1}{x}=1,$$

откуда

$$x=1.$$

Ответ

$$1$$