Упр.8.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/(x-1)+1/(x+1)?3/x;
2) 12/(x^2-4)-7/(x^2-9)?0.

1. $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\ge \frac{3}{x}$$

   Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x}\ge 0$$

   $$\frac{x(x+1)+x(x-1)-3(x-1)(x+1)}{x(x+1)(x-1)}\ge 0$$

   $$\frac{x^2+x+x^2-x-3x^2+3}{x(x+1)(x-1)}\ge 0$$

   $$\frac{-x^2+3}{x(x+1)(x-1)}\ge 0$$

   $$\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x(x+1)(x-1)}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-\sqrt{3},\,-1,\,0,\,1,\,\sqrt{3}.$$

   С учётом знаков на промежутках получаем:

   $$x\in(-\infty;-\sqrt{3}] \cup (-1;0) \cup (1;\sqrt{3}].$$

2. $$\frac{12}{x^2-4}-\frac{7}{x^2-9}\le 0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{12(x^2-9)-7(x^2-4)}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0$$

   $$\frac{12x^2-108-7x^2+28}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0$$

   $$\frac{5x^2-80}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0$$

   $$\frac{5(x-4)(x+4)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}\le 0$$

   Область допустимых значений: $$x\ne \pm 2,\; x\ne \pm 3.$$

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x\in[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4].$$

Ответ

1) $$(-\infty;-\sqrt{3}] \cup (-1;0) \cup (1;\sqrt{3}]$$

2) $$[-4;-3) \cup (-2;2) \cup (3;4]$$