Упр.48.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 48.15. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 27 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Подробный ответ

Обозначим через $$d=\gcd(a,b)$$ наибольший общий делитель чисел $$a$$ и $$b$$. Тогда можно записать:

$$a=dm,\qquad b=dn,$$

где $$\gcd(m,n)=1$$.

По условию

$$\operatorname{lcm}(a,b)=27\cdot \gcd(a,b).$$

Но для любых натуральных чисел $$a$$ и $$b$$ верно:

$$ab=\gcd(a,b)\cdot \operatorname{lcm}(a,b).$$

Подставим условие:

$$ab=d\cdot 27d=27d^2.$$

С другой стороны,

$$ab=(dm)(dn)=d^2mn.$$

Следовательно,

$$d^2mn=27d^2,$$

откуда

$$mn=27=3^3.$$

Так как $$m$$ и $$n$$ взаимно просты, а их произведение равно $$3^3$$, то одно из чисел $$m$$ и $$n$$ равно $$1$$, а другое равно $$27$$, либо $$3$$ и $$9$$. Но взаимная простота возможна только в случае $$1$$ и $$27$$.

Значит, одно из чисел $$m$$ и $$n$$ равно $$1$$, то есть одно из чисел $$a$$ и $$b$$ равно $$d$$, а другое кратно ему.

Следовательно, одно из данных чисел кратно другому.