Упр.47.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) m=11^43, n=7; 2) m=13^52, n=17; 3) m=3^30, n=31.

Найдём остатки по модулю, используя сравнения.

1. $$11^3=1331=190\cdot 7+1,$$ значит $$11^3\equiv 1 \pmod 7.$$

   Тогда

   $$11^{43}=11^{42}\cdot 11=(11^3)^{14}\cdot 11\equiv 1^{14}\cdot 4\equiv 4 \pmod 7.$$

   Следовательно, остаток равен $$4$$.

2. $$13^2=169=170-1,$$ значит $$13^2\equiv -1 \pmod{17}.$$

   Тогда

   $$13^{52}=(13^2)^{26}\equiv (-1)^{26}\equiv 1 \pmod{17}.$$

   Следовательно, остаток равен $$1$$.

3. $$3^3=27=31-4,$$ значит $$3^3\equiv -4 \pmod{31}.$$

   Тогда

   $$3^{30}=(3^3)^{10}\equiv (-4)^{10}=4^{10}\pmod{31}.$$

   Вычислим степени числа $$4$$ по модулю $$31$$:

   $$4^3=64=2\cdot 31+2,\quad 4^3\equiv 2 \pmod{31},$$

   $$4^{10}=4^3\cdot 4^3\cdot 4^3\cdot 4\equiv 2\cdot 2\cdot 2\cdot 4=32\equiv 1 \pmod{31}.$$

   Следовательно, остаток равен $$1$$.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$.