Упр.43.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=sin(x)-cos(x), [0; ?]; 2) f(x)=xv3-cos(2x), [-?/2; ?/2].

Подробный ответ

$$f(x)=\sin x-\cos x,\quad [0;\pi]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\cos x+\sin x.$$
Критические точки:
$$\cos x+\sin x=0 \;\Rightarrow\; 1+\tg x=0 \;\Rightarrow\; \tg x=-1.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем:
$$x=\frac{3\pi}{4}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=\sin 0-\cos 0=0-1=-1,$$
$$f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\frac{3\pi}{4}-\cos\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2,$$
$$f(\pi)=\sin\pi-\cos\pi=0-(-1)=1.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$\sqrt2,$$ наименьшее — $$-1.$$
$$f(x)=x\sqrt3-\cos 2x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\sqrt3+2\sin 2x.$$
Критические точки:
$$\sqrt3+2\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; \sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$2x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
откуда на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем точки
$$x=-\frac{\pi}{6},\quad x=-\frac{\pi}{3}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{2}-\cos(-\pi)= -\frac{\pi\sqrt3}{2}+1=\frac{2-\pi\sqrt3}{2},$$
$$f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{6}-\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)= -\frac{\pi\sqrt3}{6}-\frac12=\frac{-\pi\sqrt3-3}{6},$$
$$f\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{3}-\cos\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)= -\frac{\pi\sqrt3}{3}+\frac12=\frac{3-2\pi\sqrt3}{6},$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi\sqrt3}{2}-\cos\pi=\frac{\pi\sqrt3}{2}+1=\frac{2+\pi\sqrt3}{2}.$$
Наибольшее значение функции равно $$\frac{2+\pi\sqrt3}{2},$$ наименьшее — $$\frac{2-\pi\sqrt3}{2}.$$