Упр.43.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 30° вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Подробный ответ

Обозначим одну сторону прямоугольника через $$x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ получаем:

$$\tan 30^\circ=\frac{HE}{HB}, \qquad \tan 60^\circ=\frac{FG}{AG}$$

Так как $$HE=FG=x$$, то

$$HB=x\cdot \tan 30^\circ=\frac{x}{\sqrt{3}}, \qquad AG=x\cdot \tan 60^\circ=x\sqrt{3}.$$

Гипотенуза равна $$16$$ см, значит вторая сторона прямоугольника:

$$GH=16-AG-HB=16-x\sqrt{3}-\frac{x}{\sqrt{3}}=16-\frac{4x}{\sqrt{3}}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=x\left(16-\frac{4x}{\sqrt{3}}\right).$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, поэтому максимум достигается в вершине:

$$S'(x)=16-\frac{8x}{\sqrt{3}}=0,$$

$$x=2\sqrt{3}.$$