Упр.42.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=cos(x)cos(x-?/3); 2) f(x)=v3cos(x)-sin(x)-x.

1) $$f(x)=\cos x\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=-\sin x\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos x\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) =-\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right). $$

Критические точки определяются из уравнения

$$ -\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=0, $$

то есть

$$ 2x-\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Тогда

$$ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}. $$

Значения функции в этих точках чередуются, поэтому точки максимума и минимума идут через одну:

$$ x_{\max}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x_{\min}=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) $$f(x)=\sqrt{3}\cos x-\sin x-x.$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=-\sqrt{3}\sin x-\cos x-1. $$

Преобразуем:

$$ f'(x)=-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)-1 =-2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1. $$

Приравниваем к нулю:

$$ -2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1=0, $$

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12. $$

Отсюда

$$ x+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, $$

то есть

$$ x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n. $$

По знаку производной получаем: в точках $$x=\pi+2\pi n$$ — минимум, а в точках $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — максимум.

Ответ

1) $$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad x_{\min}=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x_{\min}=\pi+2\pi n,\quad x_{\max}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$