Упр.42.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=1/4 x^4-2x^3+7; 2) f(x)=(x-1)^3 (x-2)^2; 3) f(x)=1/6 x^6+4/5 x^5+x^4+3.

1. $$f(x)=\frac14x^4-2x^3+7$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac14\cdot 4x^3-2\cdot 3x^2=x^3-6x^2=x^2(x-6).$$

   Исследуем знак производной:

   $$x^2(x-6)\ge 0.$$

   Так как $$x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется множителем $$x-6$$. Получаем:

   $$f'(x)\le 0 \text{ при } x\le 6,\qquad f'(x)\ge 0 \text{ при } x\ge 6.$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;6]$$ и возрастает на $$[6;+\infty).$$

   В точке $$x=6$$ достигается минимум:

   $$f(6)=\frac14\cdot 6^4-2\cdot 6^3+7=324-432+7=-101.$$

2. $$f(x)=(x-1)^3(x-2)^2$$

   Найдём производную по правилу произведения:

   $$f'(x)=3(x-1)^2(x-2)^2+2(x-2)(x-1)^3.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$f'(x)=(x-1)^2(x-2)\bigl(3(x-2)+2(x-1)\bigr)=(x-1)^2(x-2)(5x-8).$$

   Критические точки:

   $$x=1,\quad x=\frac85,\quad x=2.$$

   Так как $$ (x-1)^2\ge 0,$$ знак производной определяется произведением $$ (x-2)(5x-8).$$

   Проверяем промежутки:

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;\frac85)\cup(2;+\infty),$$
   $$f'(x)<0 \text{ на } (\frac85;2).$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;\frac85]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[\frac85;2].$$

   В точке $$x=\frac85$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

   Найдём значения функции в точках экстремума:

   $$f\!\left(\frac85\right)=\left(\frac85-1\right)^3\left(\frac85-2\right)^2=\left(\frac35\right)^3\left(-\frac25\right)^2=\frac{108}{3125},$$

   $$f(2)=(2-1)^3(2-2)^2=0.$$

3. $$f(x)=\frac16x^6+\frac45x^5+x^4+3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac16\cdot 6x^5+\frac45\cdot 5x^4+4x^3=x^5+4x^4+4x^3.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$f'(x)=x^3(x^2+4x+4)=x^3(x+2)^2.$$

   Так как $$ (x+2)^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x^3.$$

   Следовательно,

   $$f'(x)\le 0 \text{ при } x\le 0,\qquad f'(x)\ge 0 \text{ при } x\ge 0.$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

   В точке $$x=0$$ достигается минимум:

   $$f(0)=3.$$

Ответ

1. Убывает на $$(-\infty;6]$$, возрастает на $$[6;+\infty)$$; $$x_{\min}=6$$, $$f(6)=-101$$.
2. Возрастает на $$(-\infty;\frac85]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[\frac85;2]$$; $$x_{\max}=\frac85$$, $$f\!\left(\frac85\right)=\frac{108}{3125}$$; $$x_{\min}=2$$, $$f(2)=0$$.
3. Убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; $$x_{\min}=0$$, $$f(0)=3$$.