Упр.41.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 41.31. Докажите, что уравнение x^n+ax+b=0 имеет не больше трёх корней.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x^n+ax+b.$$

Тогда уравнение $$x^n+ax+b=0$$ равносильно уравнению $$f(x)=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=nx^{n-1}+a.$$

Это уравнение относительно $$x$$ имеет не более двух корней, значит, функция $$f(x)$$ имеет не более двух точек экстремума.

Между любыми двумя соседними точками экстремума график функции может пересечь ось $$Ox$$ не более одного раза. Следовательно, функция $$f(x)$$ может иметь не более трёх нулей.

Значит, уравнение $$x^n+ax+b=0$$ имеет не более трёх корней.

Ответ

Уравнение $$x^n+ax+b=0$$ имеет не более трёх корней.