Упр.38.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 38.23. Докажите, пользуясь определением, что функция f(x)={1-x^2, если x < 0; 1, если x?0} является дифференцируемой в точке x_0=0. Проиллюстрируйте полученный результат графически.

Найдём производную в точке $$x_0=0$$ по определению.

Имеем $$f(0)=1$$. Рассмотрим приращение $$\Delta x$$.

Если $$\Delta x<0$$, то $$x_0+\Delta x<0$$ и

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \frac{(1-\Delta x^2)-1}{\Delta x} = \frac{-\Delta x^2}{\Delta x} = -\Delta x. $$

Тогда

$$ \lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0-}(-\Delta x)=0. $$

Если $$\Delta x>0$$, то $$x_0+\Delta x\ge 0$$ и

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \frac{1-1}{\Delta x} = 0. $$

Следовательно,

$$ \lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\Delta f}{\Delta x} = 0. $$

Левые и правые пределы совпадают, значит, существует производная в точке $$x_0=0$$ и

$$ f'(0)=0. $$

Графически это означает, что в точке $$\left(0;1\right)$$ график функции имеет горизонтальную касательную.

Ответ

Функция дифференцируема в точке $$x_0=0$$, причём $$f'(0)=0$$.