Упр.37.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 37.5. Для функции f(x)=x^2-x и точки x_0 найдите ?f/?x и (?x > 0)lim(?f/?x).

Для функции $$f(x)=x^2-x$$ найдём приращение:

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

Тогда

$$ \Delta f=((x_0+\Delta x)^2-(x_0+\Delta x))-(x_0^2-x_0). $$

Раскроем скобки:

$$ \Delta f=x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-x_0-\Delta x-x_0^2+x_0 =2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-\Delta x. $$

Вынесем $$\Delta x$$ за скобки:

$$ \Delta f=\Delta x(2x_0+\Delta x-1). $$

Тогда

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=2x_0+\Delta x-1. $$

Найдём предел при $$\Delta x\to 0$$:

$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}(2x_0+\Delta x-1)=2x_0-1. $$

Ответ

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x_0+\Delta x-1,\qquad \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x_0-1.$$