Упр.36.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2x-1, x_0=-1; 2) f(x)=(x^2-4)/(x-2), x_0=2;
3) f(x)=1/x, x_0=-2; 4) f(x)=1/x, x_0=0;
5) f(x)=k, где k — некоторое число, x_0=3;
6) f(x)=|x-2|/(2-x), x_0=2.

Подробный ответ

$$f(x)=2x-1,\quad x_0=-1.$$
Линейная функция непрерывна, значит предел в точке существует:
$$\lim_{x\to -1}(2x-1)=2\cdot(-1)-1=-3.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\quad x_0=2.$$
Преобразуем:
$$ \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\quad x\ne 2. $$
Тогда
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac1x,\quad x_0=-2.$$
Функция непрерывна в точке $$x=-2$$, поэтому
$$\lim_{x\to -2}\frac1x=\frac1{-2}=-\frac12.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac1x,\quad x_0=0.$$
При $$x\to 0$$ значения функции слева и справа стремятся к разным бесконечностям, поэтому конечного предела нет.
Предел не существует.
$$f(x)=k,\quad x_0=3.$$
Постоянная функция имеет один и тот же предел в любой точке:
$$\lim_{x\to 3}k=k.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac{|x-2|}{2-x},\quad x_0=2.$$
Рассмотрим односторонние пределы:
$$ x>2:\quad |x-2|=x-2,\quad f(x)=\frac{x-2}{2-x}=-1; $$
$$ x<2:\quad |x-2|=2-x,\quad f(x)=\frac{2-x}{2-x}=1. $$
Левый и правый пределы не равны, значит предела в точке $$x=2$$ нет.