Упр.34.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x-2)sin(?x)=0;
2) v(25-4x^2)(3sin(2?x)+8sin(?x))=0.

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x-2}\sin \pi x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{x-2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \pi x=0.$$

Из первого уравнения получаем

$$x-2=0,\quad x=2.$$

Из второго уравнения

$$\pi x=\pi n,\quad x=n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Но при этом должно выполняться условие существования корня:

$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2.$$

Значит, подходят только целые числа, не меньшие 2.

Итак,

$$x=n,\quad n\in \mathbb{Z},\ n\ge 2.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{25-4x^2}\,(3\sin 2\pi x+8\sin \pi x)=0.$$

Произведение равно нулю, если

$$\sqrt{25-4x^2}=0 \quad \text{или} \quad 3\sin 2\pi x+8\sin \pi x=0.$$

Сначала решим второе уравнение:

$$3\sin 2\pi x+8\sin \pi x=0.$$

Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$$:

$$3\cdot 2\sin \pi x\cos \pi x+8\sin \pi x=0,$$

$$2\sin \pi x(3\cos \pi x+4)=0.$$

Отсюда

$$\sin \pi x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos \pi x+4=0.$$

Уравнение $$3\cos \pi x+4=0$$ не имеет решений, так как

$$\cos \pi x=-\frac{4}{3}$$

невозможно.

Значит, остаётся

$$\sin \pi x=0,\quad \pi x=\pi n,\quad x=n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь учтём область определения корня:

$$25-4x^2\ge 0,$$

$$x^2\le \frac{25}{4},\quad |x|\le \frac{5}{2}.$$

Следовательно, среди целых чисел подходят

$$x=-2,-1,0,1,2.$$

Кроме того, из первого множителя получаем

$$25-4x^2=0,\quad x=\pm \frac{5}{2}.$$

Итак, все решения:

$$x=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \pm \frac{5}{2}.$$

Ответ

1) $$x=n,\ n\in \mathbb{Z},\ n\ge 2.$$

2) $$x=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \pm \frac{5}{2}.$$