Упр.34.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(x)cos(2x)cos(4x)cos(8x)=1/8cos(15x);
2) cos(2x)+cos(4x)+cos(6x)+cos(8x)=-0,5.

Подробный ответ

1) Используем формулу

$$2\sin a\cos a=\sin 2a.$$

Тогда

$$ \cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\frac18\cos 15x $$

умножим обе части на $$8\sin x$$:

$$ 8\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\sin x\cos 15x. $$

Последовательно применяя формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$, получаем:

$$ \sin 2x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\frac{\sin x\cos 15x}{8}, $$

$$ \sin 4x\cos 4x\cos 8x=\frac{\sin x\cos 15x}{4}, $$

$$ \sin 8x\cos 8x=\frac{\sin x\cos 15x}{2}, $$

$$ \frac{\sin 16x}{2}=\sin x\cos 15x. $$

Тогда

$$ \sin 16x=2\sin x\cos 15x=\sin(16x)-\sin(14x). $$

Следовательно,

$$ \sin 14x=0, $$

откуда

$$ 14x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{14},\qquad n\in\mathbb Z. $$

Проверим, чтобы исходное уравнение не обращалось в тождество при недопустимых значениях: при $$\sin x=0$$ левая и правая части не совпадают, поэтому $$n$$ не кратно $$14$$.

2) Преобразуем левую часть по формулам суммы в произведение:

$$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=-0{,}5. $$

Сгруппируем:

$$ (\cos 2x+\cos 8x)+(\cos 4x+\cos 6x)=-\frac12. $$

Тогда

$$ 2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=-\frac12, $$

$$ 2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=-\frac12. $$

Используем формулу

$$ \cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x, $$

получаем

$$ 4\cos 5x\cos 2x\cos x=-\frac12. $$

Умножим на $$\sin x$$ и снова применим формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$: