Упр.33.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(x/2)+sin^2(3x/2)=1; 4) sin(x)+sin(3x)=4cos^2(x);
2) cos(2x)-cos(8x)+cos(6x)=1; 5) cos(2x)=v2(cos(x)-sin(x));
3) 1-cos(x)=tg(x)-sin(x); 6) sin(3x)+v3cos(3x)=2cos(5x).

1. $$\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{3x}{2}=1$$

   Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

   $$ \frac{1-\cos x}{2}+\frac{1-\cos 3x}{2}=1 $$
   $$ \cos x+\cos 3x=0 $$
   $$ 2\cos 2x\cos x=0 $$

   Тогда
   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0. $$

   Отсюда
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$
   или
   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x=1$$

   Преобразуем:
   $$ \cos 2x+\cos 6x-\cos 8x=1 $$
   $$ 2\cos 4x\cos 2x-\cos 8x=1. $$

   Используем формулу $$\cos 8x=2\cos^2 4x-1$$:

   $$ 2\cos 4x\cos 2x-2\cos^2 4x+1=1 $$
   $$ 2\cos 4x(\cos 2x-\cos 4x)=0. $$

   Тогда
   $$ \cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\cos 4x. $$

   1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

   2) $$\cos 2x=\cos 4x \Rightarrow 2x=2\pi n \ \text{или}\ 2x=-4x+2\pi n.$$

   Отсюда
   $$ x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z. $$

3. $$1-\cos x=\tg x-\sin x$$

   Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$, получаем:
   $$ 1-\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x $$
   $$ 1-\cos x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right) $$
   $$ 1-\cos x=\sin x\cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}. $$

   Переносим в одну сторону:
   $$ (1-\cos x)\left(1-\frac{\sin x}{\cos x}\right)=0 $$
   $$ (1-\cos x)(1-\tg x)=0. $$

   Тогда
   $$ \cos x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=1. $$

   Отсюда
   $$ x=2\pi n $$
   или
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

4. $$\sin x+\sin 3x=4\cos^2 x$$

   Используем формулу суммы синусов:
   $$ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x. $$

   Тогда
   $$ 2\sin 2x\cos x=4\cos^2 x $$
   $$ 4\sin x\cos^2 x=4\cos^2 x $$
   $$ 4\cos^2 x(\sin x-1)=0. $$

   Следовательно,
   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1. $$

   Оба случая дают одно и то же множество решений:
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

5. $$\cos 2x=\sqrt2(\cos x-\sin x)$$

   Заменим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
   $$ \cos^2 x-\sin^2 x=\sqrt2(\cos x-\sin x) $$
   $$ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-\sqrt2)=0. $$

   Тогда
   $$ \cos x-\sin x=0 $$
   или
   $$ \cos x+\sin x=\sqrt2. $$

   1) $$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   2) $$\cos x+\sin x=\sqrt2 \Rightarrow \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Второе множество входит в первое, поэтому
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

6. $$\sin 3x+\sqrt3\cos 3x=2\cos 5x$$

   Представим левую часть в виде одной косинусоиды:
   $$ \sin 3x+\sqrt3\cos 3x=2\left(\frac12\sin 3x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 3x\right). $$

   Так как
   $$ \frac12=\sin\frac{\pi}{6},\qquad \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}, $$
   то
   $$ \sin\frac{\pi}{6}\sin 3x+\cos\frac{\pi}{6}\cos 3x=\cos 5x. $$

   Следовательно,
   $$ \cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos 5x. $$

   Тогда
   $$ 5x=3x-\frac{\pi}{6}+2\pi n $$
   или
   $$ 5x=-3x+\frac{\pi}{6}+2\pi n. $$

   Отсюда
   $$ x=-\frac{\pi}{12}+\pi n $$
   или
   $$ x=\frac{\pi}{48}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \pi n,\ \frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

5) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

6) $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\ \frac{\pi}{48}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$