Упр.32.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 4sin^4(x)+cos(4x)=1+12cos^4(x);
2) cos^4(3x)+cos^4(3x-?/4)=1/4.

Подробный ответ

$$4\sin^4 x+\cos 4x=1+12\cos^4 x.$$
Используем формулы
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos 4x=2\cos^2 2x-1.$$
Тогда
$$ 4\cdot \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2+\left(2\cos^2 2x-1\right) =1+12\cdot \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2. $$
Упростим:
$$ 1-2\cos 2x+\cos^2 2x+2\cos^2 2x-1 =1+3(1+2\cos 2x+\cos^2 2x). $$
$$ 3\cos^2 2x-2\cos 2x=4+6\cos 2x+3\cos^2 2x, $$
откуда
$$ 8\cos 2x=-4. $$
$$ \cos 2x=-\frac12. $$
$$ 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
$$\cos^4 3x+\cos^4\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac14.$$
Преобразуем:
$$ \cos^4 3x=\left(\frac{1+\cos 6x}{2}\right)^2,\qquad \cos^4\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1+\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}\right)^2. $$
Так как $$\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 6x,$$ получаем
$$ \frac{(1+\cos 6x)^2}{4}+\frac{(1+\sin 6x)^2}{4}=\frac14. $$
Умножим на $$4$$:
$$ (1+\cos 6x)^2+(1+\sin 6x)^2=1. $$
$$ 1+2\cos 6x+\cos^2 6x+1+2\sin 6x+\sin^2 6x=1. $$
С учётом $$\sin^2 6x+\cos^2 6x=1$$ имеем
$$ 2\cos 6x+2\sin 6x+3=0. $$
$$ \cos 6x+\sin 6x=-\frac32. $$
Но $$\cos 6x+\sin 6x=\sqrt2\cos\left(6x-\frac{\pi}{4}\right),$$ значит
$$ \sqrt2\cos\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac32. $$
Отсюда
$$ \cos\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3}{2\sqrt2}. $$
Так как $$\left|-\frac{3}{2\sqrt2}\right|>1,$$ действительных решений нет.