Упр.31.41 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) arccos(cos(11ПЂ/9));
2) arccos(cos(6,28));
3) arccos(sin(12));
4) arcctg(ctg(15ПЂ/11));
5) arcctg(tg(10)).

Подробный ответ

$$\arccos\left(\cos\frac{11\pi}{9}\right)$$
Так как $$\frac{11\pi}{9}\in[\pi,2\pi]$$, то
$$\arccos\left(\cos\frac{11\pi}{9}\right)=2\pi-\frac{11\pi}{9}=\frac{7\pi}{9}.$$
$$\arccos(\cos 6{,}28)$$
Поскольку $$6{,}28\approx 2\pi-0{,}003185\ldots$$ и значение $$6{,}28$$ лежит в промежутке $$[\pi,2\pi]$$, получаем
$$\arccos(\cos 6{,}28)=2\pi-6{,}28.$$
$$\arccos(\sin 12)$$
Используем формулу $$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$:
$$\arccos(\sin 12)=\arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-12\right)\right).$$
Так как $$\frac{\pi}{2}-12<0$$, то удобно взять сонаправленный угол из промежутка $$[0,\pi]$$:
$$\arccos(\sin 12)=\frac{9\pi}{2}-12.$$
$$\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{15\pi}{11}\right)$$
Так как $$\frac{15\pi}{11}\in(\pi,2\pi)$$, то приводим угол к промежутку значений арккотангенса:
$$\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{15\pi}{11}\right)=\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{4\pi}{11}\right)=\frac{4\pi}{11}.$$
$$\operatorname{arcctg}(\operatorname{tg}10)$$
Используем тождество $$\operatorname{tg}x=\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$:
$$\operatorname{arcctg}(\operatorname{tg}10)=\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(\frac{7\pi}{2}-10\right)\right)=\frac{7\pi}{2}-10.$$