Упр.29.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) [0; 11?/6]; 2) (?/4; 7?/4]; 3) [-?/3; 2?].

1. Рассмотрим уравнение $$\sin x=a$$ на промежутке $$\left[0;\frac{11\pi}{6}\right].$$

   На этом промежутке значения функции $$\sin x$$ изменяются от $$-1$$ до $$1$$, причём:

   $$\sin 0=0,\qquad \sin \frac{11\pi}{6}=-\frac12.$$

   По графику синуса получаем:

   если $$a<-1$$ или $$a>1,$$ то корней нет;
   если $$a\in\{-1\}\cup\left(-\frac12;0\right),$$ то один корень;
   если $$a\in\left(-1;-\frac12\right]\cup[0;1),$$ то два корня.

2. Рассмотрим уравнение $$\sin x=a$$ на промежутке $$\left(\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right].$$

   Здесь

   $$\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin \frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда:

   если $$a<-1$$ или $$a>1,$$ то корней нет;
   если $$a\in\{-1\}\cup\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right],$$ то один корень;
   если $$a\in\left[-1;-\frac{\sqrt2}{2}\right]\cup\left(\frac{\sqrt2}{2};1\right),$$ то два корня.

3. Рассмотрим уравнение $$\sin x=a$$ на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{3};2\pi\right].$$

   Имеем

   $$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin 2\pi=0.$$

   Следовательно:

   если $$a<-1$$ или $$a>1,$$ то корней нет;
   если $$a=-1$$ или $$a=1,$$ то один корень;
   если $$a\in\left(-1;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup(0;1),$$ то два корня;
   если $$a\in\left[-\frac{\sqrt3}{2};0\right],$$ то три корня.

Ответ

1) $$a<-1$$ или $$a>1$$ — корней нет; $$a\in\{-1\}\cup\left(-\frac12;0\right)$$ — один корень; $$a\in\left(-1;-\frac12\right]\cup[0;1)$$ — два корня.
2) $$a<-1$$ или $$a>1$$ — корней нет; $$a\in\{-1\}\cup\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right]$$ — один корень; $$a\in\left[-1;-\frac{\sqrt2}{2}\right]\cup\left(\frac{\sqrt2}{2};1\right)$$ — два корня.
3) $$a<-1$$ или $$a>1$$ — корней нет; $$a=-1$$ или $$a=1$$ — один корень; $$a\in\left(-1;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup(0;1)$$ — два корня; $$a\in\left[-\frac{\sqrt3}{2};0\right]$$ — три корня.